Een recept om het denken van de leerlingen te richten.

De uitdaging die wellicht iedere wiskunde docent herkent, is: Hoe zorg ik dat mijn leerlingen wiskundiger gaan denken. Maar soms ook: ‘Hoe zorg ik dat mijn leerlingen überhaupt gaan denken in mijn les?’

Peter Liljedahl heeft hierover, na 15 jaar empirisch onderzoek, een boek geschreven: Building Thinking Classrooms in Mathematics. In het boek beschrijft Liljedahl 14 elementen die je kan implementeren in je les met als doel: actieve wiskundig denkende leerlingen.

Geef je geen wiskunde? Er zijn toch een aantal interessante elementen in Liljedahl ’s boek, die ook bij andere vakken waardevol zijn.

In deze blog wil ik je laten kennismaken met de elementen die Liljedahl uiteen zet in zijn boek. Ben je enthousiast en wil je het zelf gaan toepassen, dan raad ik je aan het boek zelf ook te lezen. Deze blog kan je in ieder geval op ideeën brengen om elementen uit het boek in jouw les toe te passen.

Mijn drie belangrijkste take-aways na het lezen van dit boek:

Leerlingen gedragen zich anders als je de omstandigheden in jouw klaslokaal verandert. Zo denken leerlingen actief na als ze in groepjes van 3 bij een whiteboard een uitdagende (wiskunde) opdracht krijgen.
Door huiswerk en aantekeningen op een andere manier te framen, begrijpen leerlingen het nut en de noodzaak van huiswerk en aantekeningen, waardoor er een positievere motivatie ontstaat.
Bestaande rolpatronen en ingesleten patronen worden doorbroken als je de elementen uit dit boek implementeert. Er ontstaat een nieuwe dynamiek. Een dynamiek waarin samen geleerd wordt en leerlingen meer autonomie en zelfvertrouwen krijgen.

Als je nu nieuwsgierig bent geworden, lees dan vooral door!

Ik heb ervoor gekozen om de eerste 11 elementen uit het boek toe te lichten, die wat mij betreft de kern van het boek weergeven. De laatste 3 elementen gaan vooral over het beoordelen van het werk van leerlingen. Omdat mijn collega’s van Toetsrevolutie al veel geschreven hebben op toetsrevolutie.nl over Formatief Handelen en toetsen, bespreek ik deze elementen niet in deze blog.

Welk type opdrachten we gebruiken
Hoe we de leerlingen in groepjes indelen
Waar de leerlingen werken
Hoe we het meubilair positioneren
Hoe de docent vragen van leerlingen beantwoordt
Wanneer, waar en hoe opdrachten worden gegeven aan de leerlingen
Hoe huiswerk eruitziet
Hoe we de (ervaren) autonomie van leerlingen vergroten
Hoe we met denkreeksen leerlingen in flow brengen
Hoe we de les consolideren
Hoe de leerlingen aantekeningen maken
Hoe we ervoor kiezen om het werk van leerlingen te beoordelen
Hoe we formatief handelen inzetten
Hoe we becijferen

1. Welke type opdrachten we gebruiken.

Omdat we willen dat leerlingen het denken ‘aanzetten’ gericht op de les(inhoud), begin je het schooljaar met denktaken.

Bijvoorbeeld:

Als ik de getallen 1 tot 100 zou opschrijven, hoeveel keer zou ik dan het getal 7 opschrijven? En als ik 1 tot 1000 zou schrijven, hoeveel nullen zouden dat zijn?

Splits 25 op in termen die bij elkaar opgeteld 25 zijn. 25 = 10 + 1525 = 10 + 10 + 525 = 3 + 3 + 3 + 16 Wat is het grootste getal dat je krijgt als je de termen vermenigvuldigt?

Door het schooljaar op deze wijze te starten, doorbreek je de opgebouwde routines en wakker je als het ware het probleemoplossend denken aan bij de leerlingen. Bij de uitleg van een wiskundige vaardigheid, is er vaak een stappenplan. Bij deze denkactiviteiten daag je de leerling uit om juist zonder stappenplan aan de slag te gaan.

Op de website van Liljedahl staan denktaken om in te zetten: https://www.peterliljedahl.com/teachers

Het doel van het boek is niet om leerlingen te laten nadenken over (wiskundige) raadsels, maar uiteindelijk het denken te richten op de curriculaire onderdelen (kerndoelen), voor langere tijd. Liljedahl stelt dat deze denktaak als opwarmer essentieel is om het wiskundig denken van de leerlingen te bevorderen.

Leerlingen zijn gewend in een les de docent na te doen (mimicking) om op deze manier een vaardigheid eigen te maken. De docent doet de opdracht stap voor stap voor (uitgewerkt voorbeeld). De leerlingen gaan vergelijkbare opdrachten zelf proberen in hun schrift, soms met behulp van een stappenplan.

Zowel Liljedahl als Craig Barton (boek: Volgens Barton) bieden een alternatief naast het voordoen door de docent. Dit alternatief is een denkreeks. (Hierover schreven René Kneyber, Thijs Risselada en Nik Osinski al eerder een blog op Toetsrevolutie.nl.)

Een denkreeks is een reeks van korte opdrachten die het denken leidt van de leerling. Deze denkreeks heeft als doel: De leerling vaardigheden eigen te maken die onderdeel zijn van het (wiskunde) curriculum. Het principe van denkreeksen leunt op onze natuurlijke manier van kijken naar nieuwe situaties, we zoeken naar herkenbare onderdelen en patronen en vanuit deze patroonherkenning proberen we het volgende probleem op te lossen. Doordat de denkstappen tussen de opdrachten heel klein zijn, wordt het denken en leren van de leerling geleid.

Je kan zelf een denkreeks bouwen. Gebruik hier ook zeker opdrachten uit jouw methode voor.

Dit doe je in 4 stappen:

Begin met een vraag over voorkennis.
Stel vervolgens een vraag die een kleine uitbreiding is op de voorkennis.
Daarna vraag je leerlingen iets op te lossen, zonder dat je ze vertelt hoe.
Stap 2 en 3 herhaal je.

Bij element 9 in deze blog staan twee voorbeelden.

2. Hoe we de leerlingen in groepjes indelen

Het werken aan de denktaak bij de start van de les gebeurt in groepjes van 3. En niet alleen het aantal van 3 is essentieel, ook de manier waarop de groepjes gevormd worden! De groepjes worden random gevormd, leerlingen moeten er van overtuigd zijn dat de docent hen niet op niveau of voorkeur heeft ingedeeld.

Er zijn allerlei apps in omloop die random groepjes vormen. Als je het analoog wilt doen, is een pak speelkaarten ideaal. Je laat leerlingen blind een kaart trekken bij binnenkomst en ze verdelen zich op gelijke speelkaarten. De eerste keer is het even wennen en zoeken, maar als dit eenmaal een routine is, kan dit vlotjes verlopen.

Magister heeft hiervoor ook een hele handige tool ingebouwd waarbij de leerlingen random worden verdeelt in groepen. Zorg dat leerling 100% zeker weten dat jij niets met de indeling te maken hebt.

Het gebruik van de Magister-tool zag ik bij mijn collega Margot Rijnierse, waar ik op bezoek was om een ‘Thinking Classroom’ live te komen aanschouwen en ervaren. Margot start de les met het aanvinken van de absenten en vervolgens met het vormen van groepjes van 3 in Magister. Et voilà!

De les waar ik op bezoek was verliep meteen soepel, deze leerlingen (6vwo – wi B) waren gewend aan deze routine en kwamen meteen in beweging nadat de groepjes gevormd waren! Mooi om te zien.

3. Waar de leerlingen werken

Ongelooflijk, dit element was voor mij echt een eyeopener! Want…de leerlingen gaan niet gewoon in groepjes van 3 aan de slag met de denktaak. Nee, ze gaan werken op een whiteboard, die verticaal aan de muur hangt. Oftewel, ze gaan staand samenwerken aan de opdracht. En dat ziet er op ALASCA (middelbare school in Amsterdam) zo uit:

Er zijn een aantal richtlijnen die het samenwerken bevorderen; er is 1 stift per groepje, 1 wisser en als je de stift hebt mag je alleen ideeën van de ander opschrijven. De stift rouleert in het groepje. Deze ‘spelregels’ bevorderen de samenwerking.

Misschien denk je nu: “Hoe kom ik aan al deze whiteboards in mijn lokaal”. Er zijn oprolbare whiteboardvellen te koop, die statisch kleven aan de muur. Magic-Chart van Legamaster. Ze zijn herbruikbaar. Als je helemaal overtuigd bent van de werking, dan zou ik uiteraard vragen om de permanente whiteboards in je lokaal!

GEFELICITEERD! Want als je wilt beginnen, zijn dit de eerste elementen die je kan invoeren. Het bouwen van een ‘Thinking Classroom’ kan je gefaseerd aanpakken. Dat is ook verstandig, want je zal zelf ook wat tijd moeten investeren in de voorbereiding. Daarnaast kunnen jouw leerlingen ook even wennen aan een nieuwe manier van werken. Je kan nieuwe routines aanleren en inslijten in jouw les.

Klaar voor de volgende elementen?

4. Hoe we het meubilair positioneren

De ‘flow’ in jouw lokaal is niet meer gericht op frontaal klassikaal lesgeven. Het helpt hierbij om het meubilair niet in de bus opstelling te plaatsen, maar niet-frontaal neer te zetten. Er zijn in het lokaal meerdere whiteboards, waardoor het ook niet uitmaakt waar de leerlingen naartoe kijken als ze zitten. Klassikale uitleg zal voornamelijk staand zijn, waardoor de richting van het meubilair nu een ander doel dient.

Zorg dat er voldoende ruimte is bij de whiteboards waar de leerlingen kunnen staan. Jij loopt door het lokaal bij het begeleiden van het proces, zorg daarom je je makkelijk door het lokaal kan bewegen. Richt met deze informatie in gedachte jouw lokaal in.

Het veranderen van de setting van de tafels zorgt voor een andere werk- en denkdynamiek. Liljedahl heeft in zijn onderzoek meerdere positioneringen uitgeprobeerd, ook het verwijderden van al het meubilair in het lokaal is getest. Maar leerlingen hebben wel een plek nodig om in hun schrift te werken, dus meubilair is nog steeds van belang. Groepjes van 3 kwam als beste uit het onderzoek.

5. Hoe de leraar vragen van leerlingen beantwoordt

Is het je wel eens opgevallen dat als je door de klas loopt, leerlingen opeens een vraag hebben. We zitten zo diep in onze rolpatronen als leerling en leraar, dat het in de buurt zijn van een leerling ervoor zorgt dat een leerling een vraag gaat stellen.

Interessant om deze situatie in een nieuw daglicht te bekijken, in het daglicht van een ‘Thinking Classroom’.

Liljedahl beschrijft drie soorten vragen:

Nabijheidsvragen
Stop met denken-vragen
Blijf denken-vragen

Nabijheidsvragen ontstaan omdat de leraar in de buurt is en de leerling in een rolpatroon zit van vragen stellen. Het kan ook zijn dat een leerling wacht met een vraag stellen tot de leraar in de buurt is, in plaats van te wachten met een vinger in de lucht. Tot slot is er ook de situatie waar de leerling eigenlijk niet met de les bezig is. Jij loopt langs en de leerling stelt dan snel een vraag om jou in de waan te laten dat hij/zij aan het werk is.

Stop met denken-vragen herken je vast ook wel. Waarom moeten we dit leren? Komt dit op het proefwerk? Klopt het wat ik aan het doen ben? Deze vragen worden door de leerlingen gesteld, omdat ze liever niet zelf nadenken. Jij geeft ze een antwoord, waardoor ze zelf niet hoeven na te denken.

Blijf denken-vragen worden gesteld door leerlingen die verder willen met de opdracht, maar zijn vastgelopen. Als we getallen zoeken die opgeteld 25 moeten vormen, mogen we dan alleen hele getallen gebruiken?

De aanpak die Liljedahl voorstelt is om alleen antwoord te geven op de ‘Blijf denken-vragen’. De andere vragen beantwoord je met een wedervraag of je glimlacht vriendelijk en loopt door. Wedervragen zijn bijvoorbeeld: Is dat niet interessant? Kan je iets anders bedenken/vinden? Laat eens zien hoe je dat hebt gedaan? Is dat altijd zo? Waarom probeer je niet een andere? Etc.

Leerlingen kunnen wellicht verbaasd zijn door jouw reactie. Daarom is het verstandig om leerlingen te vertellen over de verschillende soorten vragen, waarbij je hen uitlegt dat je alleen antwoord geeft op de laatste categorie vragen. Uiteraard leg je ook uit dat je dit doet, omdat je het denken wilt stimuleren, wat hen helpt op weg naar zelfstandigheid.

6. Wanneer, waar en hoe opdrachten worden gegeven aan de leerlingen.

Hoe vaak begin jij jouw les met uitleg geven aan de leerlingen? Het onderzoek van Liljedahl laat zien dat je invloed kan hebben op de energie die er is in jouw les. Als je begint met een instructie, jij staat voor het bord, de leerlingen zitten en luisteren, dan is het lastig om leerlingen daarna geactiveerd te krijgen voor een denktaak. Daarom wil je in de eerste 5 minuten van de les de leerlingen in de staande positief hebben, waarbij jij staand de opdracht uitlegt. Hierdoor zijn de leerlingen actiever bezig met de denktaak.

Waar doe je dat? Ergens in het lokaal. Probeer de klassikale setting te voorkomen, ga ergens in het midden staan of dichtbij één van de whiteboards ergens in jouw lokaal.

Hoe doe je dat? Je geeft de instructie mondeling en schrijft daarbij mee op een whiteboard. Je schrijft niet de hele opdracht op, alleen de onderdelen die van belang zijn en de leerlingen nodig hebben om de denktaak op te lossen. Als je de opdracht in een verhaal giet (story-telling), engageer je de leerlingen nog meer, je prikkelt hun voorstellingsvermogen.

Een voorbeeld uit het boek:

In het onderzoek hebben leerlingen de taak als tekst ontvangen of de docent heeft het mondeling toegelicht, zoals uitgeschreven in de dialoog. Het verschil was groot. Bij de mondelinge toelichting konden de leerlingen meteen aan de slag met de opdracht, terwijl bij de taak op papier er tijd ‘verloren’ ging aan het bespreken en herlezen van de opdracht.

In de wiskundeles op ALASCA aan 6VWO, zag ik dezelfde dynamiek. Margot geeft de opdracht mondeling terwijl de leerlingen bij hun whiteboards staan. De leerlingen schreven in dit geval mee met de opdracht (formule) en konden na de mondelinge toelichting aan de slag, wat ook direct gebeurde.

7. Hoe huiswerk eruitziet

Oef, huiswerk. Dat is een steeds groter hoofdpijndossier nu we concurreren met Instagram, Snapchat en Tiktok.

Leerlingen maken huiswerk niet om de juiste reden. Ze maken het voor de docent of om een straf te voorkomen. Slechts een klein deel van de leerlingen maakt huiswerk om de juiste reden, om te oefenen met de vaardigheden.

Huiswerk wordt totaal anders benadert. Om te beginnen wordt het niet meer huiswerk genoemd, maar controleer-jouw-begrip-opdrachten (check-your-understanding-questions). Daarnaast wordt het ‘huiswerk’ NIET gecontroleerd, wat de docenten erg moeilijk vonden. Tot slot worden de antwoorden (niet de uitwerkingen) beschikbaar gesteld, zodat de leerlingen hun werk zelf kunnen nakijken. Deze verandering kost tijd, want de leerlingen moeten eerst ECHT het gevoel hebben dat ze het voor zichzelf doen en niet voor de docent (gevoel van autonomie), hierbij is het van belang dat je er ook op deze manier over praat in de klas. “Jullie krijgen de kans om jouw begrip te checken.”

8. Hoe we de (ervaren) autonomie van leerlingen vergroten

Bij het kopje huiswerk herken je al een toename van de autonomie en verantwoordelijkheid bij de leerlingen. Een tweede element om autonomie te stimuleren is door kennis in je klaslokaal te mobiliseren. Motiveer leerlingen om van elkaar te leren. Als je vastloopt met je groepje, dan kan je kijken op de borden van de andere groepjes om verder te komen met de taak. Als docent heb je hier een belangrijke rol in. Geef zo min mogelijk aanwijzingen, als dit ook gedaan kan worden door een andere groep.

Je ziet de autonomie van de leerlingen groeien, ze gaan zelf actief op zoek naar aanwijzingen die hen verder helpen.

Uitspraken van leerlingen die ik heb gehoord in de klas op ALASCA:
“Daar staat het antwoord, daar gaan we niet naar kijken, we gaan het eerst zelf proberen.”
“In de andere groep hebben ze eerst de afgeleide genomen, laten we dat ook proberen en kijken waar we dan op uitkomen.”
“Oh, kijk, we hebben gewoon een rekenfout gemaakt, we zijn al op de goede weg.”

Uitspraken van de docent:
“Ja, jullie zijn goed begonnen, kijk even bij het groepje daar hoe je verder kan.”
“Hebben jullie al bij de andere groepjes gekeken voor een plan van aanpak?”

9. Hoe we met denkreeksen leerlingen in flow brengen

Dit is het punt waar we in het boek ook antwoord krijgen op de vraag, hoe we dan aan ons curriculum toekomen? Je kan namelijk ook heel goed van het curriculum materiaal een denkreeks maken! Met denkreeksen kan je in korte tijd veel stof behandelen, omdat de leerling aan de hand van kleine denkstappen de stof eigen maakt.

In het boek staan twee voorbeelden:

Links een denkreeks over het ontbinden in factoren. Rechts een denkreeks over het bepalen van breuken in een figuur.

De dynamiek van een denkreeks zit erin dat er telkens slechts een kleine verandering is, waardoor je met behulp van de kennis van de vorige stap de volgende stap kan oplossen. Jouw brein wil graag patronen herkennen en in de denkreeks gebruiken om het probleem op te lossen.

De docent begint altijd met het mondeling toelichten van de opdracht. De groepjes krijgen telkens een volgende opdracht in de denkreeks als ze er eentje hebben opgelost.

Wat hier gebeurt, is dat leerlingen in Flow komen. Het tempo zal per groep verschillen, daar vindt differentiatie plaats. Je vraagt je wellicht af of er ook verschillen zijn tussen de leerlingen in een groep. Dat is natuurlijk zo, maar vergeet niet de kracht van de samenwerking in de groep. Flow ontstaat als de leerlingen in het vlak zitten tussen frustratie en verveling:

Rechts zie je de uitwerking van een denkreeks, de leerlingen gaan op hun eigen tempo door de denkreeks heen, waardoor ze met deze kleine denkstappen in Flow blijven.

10. Hoe we de les consolideren

Er zijn meerdere mogelijkheden om de geleerde lesstof te consolideren.

De docent vertelt klassikaal wat hij/zij heeft gezien bij de groepjes en vat samen we er nu is geleerd.
De docent staat bij een leeg whiteboard en schrijft een samenvatting van wat er geleerd is op. De leerlingen staan nog steeds en luisteren naar de docent.
De docent maakt met de leerlingen een ‘gallery walk’. De docent heeft een andere kleur whiteboard stift. Terwijl hij met de leerlingen rondloopt, tekent hij/zij een rechthoek of cirkel om een deel van de uitwerking waar de docent de aandacht op wil richten. De docent licht mondeling toe wat goed is aan dit onderdeel van de uitwerking. De docent kan onderweg het werk nummeren om een volgorde weer te geven. Op deze manier ontstaat er een samenvatting van wat er geleerd is.

11. Hoe de leerlingen aantekeningen maken

Ook hier brengt Liljedahl weer een geniale kwinkslag aan in het denken van leerlingen. In de huidige praktijk zie je verschillen tussen de manieren waarop leerlingen aantekeningen maken. En als ze aantekeningen maken, kan het zijn dat ze dit gedachteloos overnemen van het bord. Met de kans dat ze de aantekeningen nooit meer bekijken.

Daarom krijgen de leerlingen de opdracht om aantekeningen te maken voor hun toekomstige-vergeetachtige-zelf (future-forgetful-self). Wat is er voor jou de moeite waard om te noteren. Dit kan je doen net na een ‘gallery walk’ of na een reeks opdrachten die ze hebben gemaakt.

Dit is ook het moment waar leerlingen aan hun eigen tafel gaan zitten om aantekeningen te maken in hun eigen schrift.

Om leerlingen hiermee te ondersteunen, kan je verschillende aantekeningen van leerlingen fotograferen en delen met de klas. Je kan hiervoor ook aantekeningen van een andere klas delen, als dit in de klas te ongemakkelijk is. Je bent dan bezig met kwaliteitsbesef voor het maken van aantekeningen.

Het zou geweldig zijn als leerlingen meteen volledige aantekeningen maken in hun schrift, waar ze naar terug kunnen bladeren voor de toets. Echter, aantekeningen maken is een complexe vaardigheid, waar je ze de nodige ondersteuning voor moet bieden, zodat de aantekeningen van aanzienlijk niveau worden.

Hiervoor zijn 4 vormen van ondersteuning mogelijk:

Laat ze een pagina in acht stukken vouwen, de aantekening van 1 les moete in 1 vakje passen. Dit zorgt ervoor dat leerlingen alleen de essentie opschrijven of tekenen.
Op een blanco vel worden de aantekeningen gemaakt. Baken elke aantekening af met een rechthoek eromheen, waardoor er duidelijk onderscheid is tussen de onderdelen.
Je bereid een aantekeningen blad voor (graphic organizer), waarop kaders staan. In elk kader staat al een woord dat verwijst naar een onderdeel dat in het vakje moet komen. Het kan ook een aanwijzing zijn zoals: uitgewerkt voorbeeld.
Het is heel waardevol om uitgewerkte voorbeelden op te nemen in je aantekening, met daarbij kleine aanwijzingen voor jouw vergeetachtige-toekomstige-zelf.

Op ALASCA zag ik verschillen tussen wat de leerlingen opschreven. Duidelijk was dat ze zelf beslissingen namen over wat ze voor hun toekomstige-vergeetachtige-zelf aan het opschrijven waren. Een mooi kenmerk van een ‘Thinking Classroom’!

Je hebt nu een beeld van de elementen van een ‘Thinking Classroom’. In het boek gaan de volgende hoofdstukken 12, 13 en 14 vooral over het beoordelen van het werk.

Met de handvatten uit deze blog kan je zeker een eerste start maken, maar ik zou je ook zeker aanraden om het boek te lezen. De vertaling: Denkklassen creëren is in december te verkrijgen.

Zoek je docenten die hier al mee aan de slag zijn, er is een facebookgroep opgericht met docenten die hier al mee bezig zijn in hun lessen: Building Thinking Classrooms – Nederland.

Tot slot, mocht het hele ‘recept’ van een ‘Thinking Classroom’ wat overweldigend zijn, begin met een paar elementen in je les en houd dit een tijdje vol. Leerlingen raken dan geleidelijk gewend aan een nieuwe manier van werken. Doe dit op een tempo die voor jou en de klas past.

Ik ben enthousiast, ik hoop jij ook!